Closer's Space

梦河之上, 一叶扁舟

重要极限证明


1. $$ \lim_{x \to 0} \frac{sinx}{x}=1 $$ 引理:夹逼准则

证明:

$$ \forall \ x \in (0, \frac {\pi}{2}), sin \ x < x < tan \ x \\ cos \ x < \frac {sin \ x} {x} < 1 \\ x \in (-\frac{\pi}{2}, 0)时不等式也成立 所以\lim_{x \to 0} \frac{sin \ x}{x} = 1 $$

2. $$ \lim_{x \to \infty} (1 + {\frac{1}{x}}) ^ x = e $$ 引理: 夹逼准则、单调有界数列必有极限

证明:

$$ 对于数列a_n=(1+\frac{1}{n})^n, 展开得 \\ a_n=\sum_{i=0}^nC_n^i(\frac{1}{n})^i \\ =2 + \sum_{i=2}^n\frac{\prod_{j=n-i+1}^nj}{i!·n^i} \\ =2 + \sum_{i=2}^n\frac{\prod_{j=n-i+1}^{n-1}j}{i!·n^{i-1}} \\ =2 + \sum_{i=2}^n\frac{1}{i!}\prod_{j=1}^{i-1}(1-\frac{j}{n}) \\ 因此 a_{n+1}=2 + \sum_{i=2}^{n+1}\frac{1}{i!}\prod_{j=1}^{i-1}(1-\frac{j}{n+1}) > a_n \\ 且a_n<2+\sum_{i=2}^n\frac{1}{i!}<1+\sum_{i=0}^{n-1}\frac{1}{2^i}=1+\frac{1-\frac{1}{2^n}}{1-\frac{1}{2}}=3-\frac{1}{2^{n-1}}<3 \\ 所以a_n单调有界, a_n收敛 $$

设数列$a_n的极限:\lim_{n \to \infty}(1+\frac{1}{n})^n=e$ $$ 当x取实数: \\ (1) x\to +\infty \\ 令n=\lfloor{x}\rfloor,则n\le x < n + 1 \\ 则有(1 + \frac{1}{n + 1})^n < (1+\frac{1}{x})^x < (1+\frac{1}{n})^{n+1} \\ 且\lim_{n \to +\infty}(1+\frac{1}{n+1})^n=\lim_{n \to +\infty}\frac{(1+\frac{1}{n+1})^{n+1}}{1+\frac{1}{n+1}}=e \\ \lim_{n \to +\infty}(1+\frac{1}{n})^{n+1}=\lim_{n \to +\infty}(1+\frac{1}{n})^n(1+\frac{1}{n})=e \\ 由夹逼准则得 \lim_{x \to +\infty}(1+\frac{1}{x})^x=e \\ (2)x \to -\infty 令x=-(t+1) ,则t \to +\infty \\ \lim_{x \to -\infty}(1+\frac{1}{x})^x=\lim_{t \to +\infty}(1-\frac{1}{t+1})^{-(t+1)} \\ =\lim_{t \to +\infty}(1+\frac{1}{t})^{t+1} \ =e \\ 所以\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e $$

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